<t->
          Matemtica
          Ideias e desafios
          8 Ano 
          Ensino Fundamental          
          
          Iracema Mori
          Dulce Satiko Onaga

          Impresso Braille em 10 
          partes, na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          da 15 edio reformulada 
          -- 2009 So Paulo, 
          da Editora Saraiva.

          Nona Parte

          Ministrio da Educao
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
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          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2013 --
<p>
          Matemtica: Ideias e Desafios 
          -- 8 ano (Ensino 
          Fundamental)
          Copyright (C) Iracema Mori, 
          Dulce Satiko Onaga, 2009
          Direitos desta Edio:
          SARAIVA S.A. -- Livreiros 
          Editores, So Paulo, 2009 

          Gerente editorial 
          Marcelo Arantes
          Editora 
          Viviane de L. Carpegiani 
          Tarraf 
          Editores assistentes 
          Renato Alberto Colombo Jr.; Rita de Cssia Sam

          Todos os direitos reservados 
          Editora Saraiva 2010
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          E-mail: ~,atendprof.didatico@~
          editorasaraiva.com.br~,
<p>
                               I
Sumrio 

Nona Parte

Unidade 11

5 -- Quadrilteros e 
  propriedades ::::::::::::: 959
Paralelogramos :::::::::::: 959
Losangos :::::::::::::::::: 969
6 -- Retngulos e 
  quadrados :::::::::::::::: 974
Leitura + (mais) :::::::: 998
Reviso cumulativa
   e testes ::::::::::::::::: 1001

Unidade 12

Noes de Estatstica :::: 1014
1 -- Organizao de 
  informaes :::::::::::::: 1018
Distribuio por 
  frequncias :::::::::::::: 1020
Frequncia relativa ::::::: 1026
2 -- Outros tipos de 
  frequncia ::::::::::::::: 1036
<P>
Leitura + (mais) :::::::: 1054
Reviso cumulativa
  e testes ::::::::::::::::: 1056

<304>
<ti. d. mat. 8 ano>
<T+959>
 Unidade 11

 5 -- Quadrilteros e 
  propriedades

 Paralelogramos

<R+>
_`[{figura adaptada e a conversa de duas crianas. O menino diz: "Mariana, voc lembra o que  um paralelogramo?"; Mariana diz: " claro!  um quadriltero... ...que tem dois pares de lados paralelos."_`]
<R->

<F->
     M                 S 
     ccccccccccccccccccc 
                          
                      
                     
                    
-------------------
P                R  
<F+>

 ^c?{m{p*_l^c?{r{s* e ^c?{p{r*_l^c?{s{m*

   isso mesmo, Mariana est certa.
  Os paralelogramos possuem propriedades importantes e interessantes. Vamos conhec-las.
  Nesta figura, o paralelogramo {a{b{c{d foi decomposto em dois tringulos: {a{b{d e {c{d{b.

_`[{figura no adaptada_`]

<R+>
 wr
  Demonstre que ^c?{a{d*  congruente a ^c?{b{c* e que ^c?{a{b*  congruente a ^c?{c{d*.
<R->

 No deixe de tentar!!!

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Na situao anterior, podemos concluir que ^c?{a{d* e ^c?{b{c* so congruentes, ao demonstrarmos 
<P>
 que tringulo {a{b{d == tringulo {c{d{b.

_`[{figura no adaptada_`]

<R+>
 ~:,?{a{d*_l~:,?{b{c*; ~:,?{b{d*  transversal
 :c==:b (ngulos alternos internos)
 ~:,?{a{b*_l~:,?{d{c*; ~:,?{b{d*  transversal
 :a==:d (ngulos alternos internos)
<R->

  Observando o tringulo {a{b{d e o tringulo {c{d{b:

<R+>
 :a==:d -- `(A`)
 ^c?{b{d*==^c?{b{d* (lado comum) -- `(L`)
 :c==:b -- `(A`)

 Tringulo {a{b{d == Tringulo {c{d{b
<P>
 ^c?{a{d*==^c?{b{c*
 ^c?{a{d*==^c?{b{c*
 med ^c?{a{d* == med ^c?{b{c*
<R->

<305>
  Tambm podemos concluir que:

<R+>
 Tringulo {a{b{d == tringulo {c{d{b
 ^c?{a{b*==^c?{c{d*: med ^c?{a{b* = med ^c?{c{d* 
 :A==:C: med :A = med :C 

 :a==:d; a=d
 :b==:c; b=c
 a+b=d+c
 :B==:D
 :A e :C so ngulos opostos.
 :B e :D so ngulos opostos.

 Em todo paralelogramo os lados paralelos so congruentes.
 Em todo paralelogramo os ngulos opostos so congruentes.
<R->

  Desenhe, em uma folha de papel, um paralelogramo parecido com este _`[no adaptado_`] e recorte-o.

_`[{a professora diz_`]
  "Dobre e vinque as diagonais."

  As diagonais ^c?{a{c* e ^c?{b{d* tm um ponto comum: o ponto P.

<R+>
 wr
  O que podemos afirmar sobre os segmentos de reta ^c?{a{p* e ^c?{c{p*? E sobre os segmentos de reta ^c?{b{p* e ^c?{d{p*?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Nessa situao, conclumos que P  ponto mdio das diagonais ^c?{a{c* e ^c?{b{d*, ao demonstrarmos que tringulo {a{b{p e tringulo {c{d{p so congruentes.
<P>
<F->
     B     A
     ccccccc 
              
          
         
        
-------
C    D
<F+>

<R+>
 ^c?{a{b* e ^c?{c{d* so lados opostos do paralelogramo {a{b{c{d. -- ^c?{a{b*==^c?{c{d* `(L`)
 :?{b{a{c* e :?{d{c{a* so ngulos alternos internos. -- :a==:c `(A`)
 :?{b{p{a* e :?{d{p{c* so ngulos o.p.v. -- :m==:r `(Ao`)
 Assim:
 Tringulo {a{b{p == tringulo {c{d{p (caso {l{a{ao)
 ^c?{b{p*==^c?{d{p*: P  ponto mdio de ^c?{b{d*.
 ^c?{a{p*==^c?{c{p*: P  ponto mdio de ^c?{a{c*.

 Em todo paralelogramo as diagonais interceptam-se no ponto mdio de cada uma delas.
<R->
<306>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 53. Observe o paralelogramo {m{n{p{r e responda s questes:

<F->
M   R
cccccc
       
        
         
          
     ------
     N    P
<F+>

 a) O que se pode concluir da informao {m{n{p{r  um paralogramo, em relao ao paralelismo dos lados?
 b) O que podemos afirmar sobre o ponto A?
<P>
 c) Identifique trs pares de segmentos de reta congruentes nessa figura _`[no adaptada_`].

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 54. Determine as medidas dos ngulos dos paralelogramos:
<F->
a)  E              F 
     cccccccccccccccc 
                50   
                   
                  
                 
----------------
H             G

b)  N              J 
     cccccccccccccccc 
    135              
                   
                  
                 
----------------
M              L
<F+>

 Problema resolvido

 55. No paralelogramo {a{b{c{d, um ngulo agudo mede 68 e o permetro  igual a 21 cm. Determine as medidas dos ngulos e dos lados desse paralelogramo.
 
<F->
      C      x       B
      cccccccccccccccc 
      c            b   
                       
                    4,3 cm
  68          a      
 ----------------      
 D              A
<F+>

 Primeiro calculamos as medidas dos ngulos do paralelogramo {a{b{c{d:

 :?{c{d{a* e :?{a{b{c* so ngulos opostos. -- b=68
 :?{d{a{b* e :?{c{d{a* so ngulos colaterais internos e, portanto, suplementares.

 ~:,?{a{b*_l~:,?{c{d* e ~:,?{a{d*  uma transversal.

 med :?{d{a{b* + med :?{c{d{a* =180 
 a+68=180
 a=180-68
 a=112

 :?{d{c{b* e :?{d{a{b* so ngulos opostos:  
 c=a=112
 c=112

 Calculamos as medidas dos lados do paralelogramo {a{b{c{d:

 ^c?{a{b* e ^c?{c{d* so lados paralelos. -- med ^c?{c{d* = med ^c?{a{b*=4,3 cm
 ^c?{b{c* e ^c?{d{a* so lados paralelos. -- med ^c?{d{a* = med ^c?{b{c*=x
 permetro de {a{b{c{d=4,3+4,3+
  +x+x=21
 2x+8,6=21  
 2x=21-8,6 
<P>
 2x=12,4
 x=6,2 cm

 Resposta: Os ngulos agudos medem 68 e os obtusos, 112. J os lados medem 6,2 cm; 6,2 cm; 4,3 cm e 4,3 cm.

 56. Em um paralelogramo, um ngulo agudo mede um quarto do ngulo obtuso. Calcule a diferena entre as medidas de um ngulo obtuso e de um agudo.
 57. As medidas de dois ngulos opostos de um paralelogramo, em graus, so representadas pelas expresses `(12x-23`) e `(7x+32`). Calcule as medidas dos ngulos desse paralelogramo.
<R->

<307>
 Losangos

  Na malha quadriculada _`[no adaptada_`] temos alguns quadrilteros.
<P>
<R+>
 wr
  Que quadrilteros so esses?
  O que podemos dizer sobre os lados desses quadrilteros? E sobre as diagonais?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Os quadrilteros desenhados na malha anterior so paralelogramos com todos os lados congruentes entre si: so losangos. Em relao a eles  possvel demonstrar, por exemplo, que as diagonais esto sobre as bissetrizes dos seus ngulos. Veja:
<P>
<F->
            A  
            e
           i_e
         i  _  e
       i    _    e        i
     i      _      e    i
 B ib      _       dei
   e        _        iD
     e      _      i
       e    _    i
         e  _  i
           e_ix
           Ce 
               e
                 e
<F+>

  Como {a{b{c{d  um losango, podemos afirmar que:
<R+>
  ^c?{a{b*==^c?{b{c*==^c?{c{d*==
  ==^c?{d{a*;
  ~:,?{a{b*_l~:,?{c{d* e ~:,?{a{d*_l~:,?{b{c*.
 ~:,?{a{b*_l:,?{c{d*, ~:,?{b{c* transversal -- b=x (ngulos correspondentes)
<P>
 ~:,?{a{d*_l~:,?{b{c*, ~:,?{c{d* transversal -- x=d (ngulos alternos internos)
 Portanto, b=d
<R->

  Temos:

<R+>
 ^c?{a{b*==^c?{a{d* `(L`)
 :B==:D `(A`)
 ^c?{b{c*==^c?{c{d* `(L`)
 Tringulo {a{b{c == tringulo {a{d{c
 :?{b{a{c*==:?{d{a{c*.
 :,?{a{c*  bissetriz de :?{b{a{d*.

 As diagonais esto sobre as bissetrizes dos ngulos dos losangos.
<R->

   possvel, tambm, demonstrar que: 

<R+>
 As diagonais so perpendiculares entre si.
<R->
<P>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
_`[{para as atividades de 58 a 61, pea orientao ao professor_`]

 58. O quadriltero {a{b{c{d 
  _`[no adaptado_`]  um losango e a medida do ngulo {d{a{b  71. Calcule o valor de *x*.

 59. Desenhe um losango qualquer e trace suas diagonais.
 a) O losango que voc desenhou tem algum eixo de simetria?
 b) Caso a figura desenhada seja simtrica, quantos eixos de simetria ela tem? Quais so eles?

 60. O quadriltero {m{n{o{p 
  _`[no adaptado_`]  um losango e ^c?{n{p* e ^c?{m{o* so suas diagonais.
<P>
 a) Qual  o valor de *x*?
 b) Qual  a medida de :?{p{m{n*?
 c) Qual  a medida de :?{n{o{p?
 d) Qual  a soma das medidas dos ngulos internos do losango {m{n{o{p?

 61. Os dois ngulos agudos de um losango _`[no adaptado_`] so complementares.
 a) Qual  a medida de cada um deles?
 b) Qual  a medida de cada ngulo obtuso desse losango?
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<308>
 6 -- Retngulos e quadrados

  Retngulos e quadrados, junto com os tringulos, so as figuras geomtricas mais encontradas e utilizadas no dia a dia das pessoas. Portanto, vamos explorar suas propriedades e conhec-los um pouco mais.
<P>
<R+>
_`[{conversa do professor com dois alunos. O professor diz: "Retngulos e quadrados so paralelogramos..."; a menina diz: "...retngulos tm os quatro ngulos retos..."; o menino diz: "...e quadrados, alm de ter os quatro ngulos retos, tm os quatro lados congruentes."_`]
<R->

<F->
!::::::::::::  !::::::
l            _  l      _
l            _  l      _
l            _  l      _
l            _  h::::::j
h::::::::::::j  
<F+>

  Podemos demonstrar que, em um retngulo qualquer, as diagonais so congruentes.
<P> 
<F->
N              M
!::::::::::::::::
l^            ^_
l  ^        ^  _
l    ^    ^    _
l      ^^      _
l      ^^      _
l    ^    ^    _
l  ^        ^  _
l^            ^_
h::::::::::::::::j
P              R
<F+>

<R+>
 Tringulo {n{p{r e tringulo {m{r{p
 ^c?{n{p*==^c?{m{r* (lados opostos de {m{n{p{r) -- `(L`)
 :?{n{p{r*==:?{m{r{p* (ngulos retos) -- `(A`)
 ^c?{p{r*==^c?{p{r* (lado comum) -- `(L`)
<R->

  Portanto, tringulo {n{p{r == tringulo {m{r{p -- ^c?{n{r*==
 ==^c?{m{p*.
  Ou seja, como {m{n{p{r  um retngulo, as diagonais ^c?{n{r* e ^c?{m{p* so congruentes.
<P>
<F->
A              C
!::::::::::::!::
l_-_          l_-_
r::j          h::w
l   ^      ^   _
l     ^M^     _
l       o       _
l     ^  ^     _
l   ^      ^   _
r::          !::w
l_-_          l_-_
h::j::::::::::h::j
B              D
<F+>

<R+>
 Em qualquer retngulo:
  os quatro ngulos so congruentes entre si;
  os lados opostos so congruentes;
  as diagonais interceptam-se no ponto mdio;
  as diagonais so congruentes.

 M  o ponto mdio de ^c?{a{d* e de ^c?{b{c*.
 ^c?{a{d*==^c?{b{c*
<R->

  Note que, como todos os ngulos so congruentes entre si e a soma de suas medidas  360, cada ngulo mede 90. Ou seja, em um retngulo todos os ngulos so retos.
  Na figura a seguir, {a{b{c{d  um quadrado.

<F->
B     A
!:::::::
l       _
l       _
l       _
l       _
h:::::::j
C     D
<F+>

<R+>
 wr
  Voc diria que: {a{b{c{d  um retngulo? {a{b{c{d  um losango?
  Cite trs propriedades de um quadrado.
<R->

<309>
  Um quadrado  um paralelogramo em que os lados e os ngulos so congruentes entre si. Assim como nos retngulos, em um quadrado todos os ngulos so retos. Portanto:

<F->
M     S
!:::::::
l       _
l       _
l       _
l       _
h:::::::j
P     R
<F+>

<R+>
 ^c?{a{b*==^c?{b{c*==^c?{c{d*==
  ==^c?{d{a* 
 Todo quadrado  tambm um losango.
 :A==:B==:C==:D
 Todo quadrado  tambm um retngulo.

 As diagonais de um quadrado:
  interceptam-se no ponto mdio: ^c?{m{a*==^c?{a{r* e ^c?{p{a*==^c?{a{s*;
  so congruentes: ^c?{m{r*==
  ==^c?{p{s*;
  so perpendiculares: ^c?{m{r*#'^c?{p{s*;
  so bissetrizes dos ngulos de cada vrtice: ~:,?{p{s*  bissetriz de :P e ~:,?{s{p*  bissetriz de :S.
<R->

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 62. Nesta figura, {a{b{c{d  um quadrado.

<F->
A     D
!:::::::
l       _
l       _
l       _
l       _
h:::::::j
B     C

:?{c{d{a*=3x~2-15
<F+>

 a) O que  :,?{d{b* em relao ao ngulo {c{d{a?
<P>
 b) Qual  o valor de med :?{c{d{b*?
 c) Qual  o valor de *x*?

 Problema resolvido

 63. No retngulo {a{b{c{d, ^c?{b{d*  uma diagonal.

<F->
A              D
!::::::::::::::::
l              ^_
l            ^  _
l          ^    _
l        ^      _
l      ^        _
l b  ^          _
l  ^            _
l^ 5x-17}     _
h::::::::::::::::j
B              C

:?{a{b{c*=b
:?{d{b{c*=5x-17
:?{b{d{c*=x+35
<F+>
<P>
 a) Qual  o valor de *x*?
 b) Qual  a medida do ngulo formado pela diagonal ^c?{b{d* e pelo lado ^c?{b{c*?
 c) Qual  a medida *b* do ngulo formado pela diagonal ^c?{b{d* e pelo lado ^c?{a{b*?

  Clculo do valor de *x*:
 No tringulo {b{c{d: med :C=90 -- med :?{d{b{c* + med :?{c{d{b=90
 `(5x-17`)+`(x+35`)=90

<310>
 5x-17+x+35=90  
 6x+18=90
 6x=90-18 
 6x=72 
 x=72~6
 x=12
 
  Clculo de med :?{d{b{c*:
 med :?{d{b{c*=5x-17=5.12-
  -17=60-17=43 
 med :?{d{b{c*=43
  Clculo de *b*:
 b + med :?{d{b{c*=90 
 b+43=90 
 b=90-43 
 b=47

 Respostas: O valor de *x*  12, a medida do ngulo formado pela diagonal ^c?{b{d* e o lado ^c?{b{c*  43 e o valor de *b*  47.

 64. Nesta figura, {m{n{p{q  um retngulo.

<F->
M          Q
!::::::::::::
l            _
l            _
l            _
l            _
h::::::::::::j
N          P

:?{m{n{p*=x+10 
:?{p{m{q*=y
:?{n{p{m*=?x~2*+14
<F+>

 a) Qual  o valor de *x*?
 b) Qual  o valor de *y*?
<P>
 65. Nesta figura, B, C e E so pontos colineares, {a{b{c{d  um quadrado e {c{e{f{g  um losango que tem um ngulo obtuso medindo 116. Calcule o valor de *x*.

<F->
A      D
!:::::::   G    F 
l       _   ,:::::~
l       _       
l       _x     
l       _     
h:::::::j:::::j 
B      C    E
<F+>

 Problema resolvido

 66. Em um retngulo, uma das diagonais forma um ngulo de 68 com o lado menor. Determine a medida do ngulo agudo formado pelas diagonais.
<P>
<F->
A              D
!::::::::::::::::
l^            ^_
l  ^        ^  _
l    ^ M ^    _
l      ^^ x    _
l      ^^      _
l    ^    ^68_
l  ^        ^  _
l^            ^_
h::::::::::::::::j
B              C
<F+>

 Desenhamos um retngulo em que assinalamos as informaes dadas no problema. Vamos determinar o valor de *x*.

 ^c?{a{c* e ^c?{b{d* so diagonais do retngulo {a{b{c{d. 
 med ^c?{a{c* = med ^c?{b{d*

 As metades das medidas das diagonais so iguais. 
<P> 
 med ^c?{a{c*~2 = med ^c?{b{d*~2
 med ^c?{m{c* = med ^c?{m{d*
 M  o ponto mdio.
 Tringulo {d{m{c  issceles.

 Soma dos ngulos do tringulo {d{m{c 
 68+68+x=180
 x=180-136
 x=44

 Resposta: A medida do ngulo agudo formado pelas diagonais  44.

 67. Em um retngulo, uma diagonal forma com um dos lados um ngulo de 52. Calcule as medidas dos ngulos formados pelas diagonais.
<R->

<311>
<P>
 Seo + (mais)

 Rgua, compasso e losangos

_`[{rodrigo diz_`]
  "Um pouco de diverso e... ...muita matemtica!"

  Este  o lema de Rodrigo.
  Desta vez, os desafios propostos por ele envolvem construes geomtricas. Ento, vamos aceit-los?

<R+>
 Desenhe as retas *p* e *r* no caderno.

  As retas *p* e *r* so perpendiculares. Desenhe um losango cujas diagonais sejam segmentos de reta contidos em *p* e em *r*.
<R->
<P>
<F->
             
           l 
           l 
           l 
           r::: 
           l_- _  
p ---------v---#------ 
           l
           l
           l
           l
           l
           r
<F+>

<R+>
  Desenhe em seu caderno um losango cujas diagonais sejam congruentes aos segmentos de reta ^c?{a{b* e ^c?{c{d*.
<R->

<F->
A             B
o:::::::::::::o

C                          D
o::::::::::::::::::::::::::o
<F+>

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 Troque ideias e resolva

  Demonstre em seu caderno que:

<R+>
 Se {a{b{c{d  um trapzio issceles, ento :?{a{b{c*==
  ==:?{b{c{d* e :?{d{a{b*==
  ==:?{c{d{a*.

 Trace ^c?{a{e* paralelo a ^c?{d{c* e analise o tringulo {a{b{e.

 ^c?{a{b*==^c?{d{c*
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 Aprender + (mais)

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 68. O quadriltero {r{s{t{v  um retngulo. As medidas das diagonais, em milmetros, so representadas pelas expresses ^c?{r{t*=`(6x-17`) e ^c?{s{v*=`(4x+32`).

<F->
R              V
!::::::::::::::::
l^            ^_
l  ^        ^  _
l    ^    ^    _
l      ^^      _
l      ^^      _
l    ^    ^    _
l  ^        ^  _
l^            ^_
h::::::::::::::::j
S              T
<F+>

 a) Qual  o valor de *x*?
 b) Qual  a medida dessas diagonais?

_`[{para as atividades de 69 a 71, pea orientao ao professor_`]

 69. Para manter a forma retangular de um porto feito com ripas de madeira, Pedro fixou duas ripas transversais, como mostra o desenho a seguir _`[no adaptado_`].
 a) Demonstre que o tringulo {p{a{b  issceles.
 b) Calcule a medida do ngulo obtuso formado pelas ripas transversais desse porto.
<312>
 70. Nesta figura _`[no adaptada_`], ^c?{b{d*  uma diagonal do retngulo {a{b{c{d e ^c?{c{e*  perpendicular a essa diagonal. Sabendo que *x* e *y* representam medidas em graus, responda:
 a) Qual  o valor de *x*?
 b) Qual  o valor de *y*?
 c) O que se pode concluir sobre *x* e *y*?

 71. Um jardim triangular foi construdo em um terreno quadrado, como mostra a figura _`[no adaptada_`]. Qual  a rea desse jardim?
 72. Em um paralelogramo, o lado menor mede 9 cm e o lado maior 
<P>
  excede-o em 6 cm. Qual  o permetro desse paralelogramo?
 73. Em um paralelogramo, o permetro mede 45,20 cm, e a diferena das medidas dos dois lados consecutivos  11 cm. Calcule as medidas desses dois lados.
 74. No paralelogramo {p{s{q{r, as diagonais ^c?{p{q* e ^c?{s{r* se interceptam no ponto O. Se ^c?{s{r* mede 17 cm, e ^c?{o{q* mede 11,5 cm, qual  a medida de ^c?{o{r* e a medida de ^c?{p{q*?

_`[{para as atividades 75 e 76, pea orientao ao professor_`]

 75. No losango _`[no adaptado_`] {e{f{g{h, ^c?{e{g* e ^c?{f{h* so diagonais. Determine:
 a) a medida do ngulo formado pela diagonal ^c?{e{g* e pelo lado ^c?{e{f*.
 b) a medida do ngulo formado pela diagonal ^c?{f{h* e pelo lado ^c?{g{h*.

 76. Nesta figura _`[no adaptada_`], {m{n{p{r  um trapzio issceles.
 a) Que ngulos so congruentes nessa figura?
 b) Que lados so congruentes nessa figura?
 c) Mostre que as diagonais ^c?{m{p* e ^c?{n{r* so congruentes.

 77. O trapzio {p{m{t{z  issceles. Determine as medidas de seus ngulos.

<F->
     P     Z
     cccccccc
    141     
               
                
                 
------------------
M                T
<F+>
<P>
 78. O trapzio {a{p{t{s  issceles.

<F->
     A      S
     cccccccc
              
               
                
                 
------------------
P                T

:A=3x+82
:S=5x+26
<F+>

 a) Qual  o valor de *x*?
 b) Qual  a medida de :?{s{a{p*? E de :?{a{p{t*?

 79. O trapzio {m{t{v{r  issceles e a medida de um ngulo obtuso  o triplo da medida de um ngulo agudo. Quais so as medidas dos ngulos desse trapzio?
<P>
<F->
    M       R
     cccccccc
    3x       
               
                
 x               
------------------
T                V
<F+>

 80. Nesta figura _`[no adaptada_`], o trapzio {a{b{c{d  issceles. Determine as medidas dos ngulos desse trapzio.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 81. Calcule as medidas de trs ngulos de um trapzio issceles, sabendo que um deles mede 51.

 82. As medidas das duas diagonais do trapzio issceles {a{b{c{d, em milmetros, so representadas pelas expresses `(5x-18`) e `(3x+64`). Determine:
 a) o valor de *x*.
 b) as medidas das diagonais.

 83. Em um trapzio issceles {e{f{g{h, a diagonal ^c?{e{g* forma com a base menor ^c?{e{h* um ngulo de 32 e, com o lado ^c?{h{g*, um ngulo de 48. Quanto mede cada um dos ngulos desse trapzio?

<313>
 84. Nesta figura _`[no adaptada_`], {a{b{c{d  um trapzio, M  o ponto mdio do lado ^c?{a{b* e N  o ponto mdio do lado ^c?{c{d*.

 ^c?{m{n*  paralelo a ^c?{a{d* e ^c?{b{c*. ^c?{m{n*  a base mdia do trapzio.

 Nessas condies, responda:
 a) Se ^c?{e{f*  paralelo a ^c?{a{b*, qual  o caso de congruncia que permite escrever 
<P>
  tringulo {d{n{e == tringulo {c{n{f?
 b) x=y? Por qu?
 c) Qual  o valor de *x*? E de *y*?
 d) Qual  a medida de ^c?{m{n*?
 e) Com o resultado que voc obteve no item anterior, verifique se med ^c?{m{n* = ?med ^c?{a{d* + med ^c?{b{c*~2.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 85. Em um trapzio, as bases medem 34 cm e 58 cm. Calcule a medida da base mdia.
 86. Em um trapzio retngulo {a{b{c{d, o ngulo agudo mede 45. Se a base menor mede 6 cm e a base maior mede 10 cm, calcule a medida da altura ^c?{a{b*.
 87. Em um trapzio, a soma das medidas de dois ngulos opostos  170 e sua diferena  igual a 30. Calcule as medidas dos quatro ngulos.
 88. A base mdia de um trapzio mede 15 cm e a base menor  igual a #;c da base maior. Determine as medidas das bases desse trapzio.
<R->

 Leitura + (mais)

 Pontos com uma propriedade comum

  O prefeito de Matinhos pretende construir o marco zero da cidade. Para no criar atritos com polticos, deu instrues para que o marco zero seja construdo  mesma distncia da Prefeitura e da Cmara Municipal.
  Representando a Prefeitura por um ponto P e a Cmara Municipal por um ponto C, o marco zero poder ser construdo em qualquer ponto da mediatriz do segmento de reta {p{c.
<P> 
<F->
          l 
          l 
          l 
          l 
          l
P        l           C
o--------v-----------o 
          l
          l
          l
          l
          l
          l mediatriz
          e
<F+>

  Vamos demonstrar que:
  Qualquer ponto da mediatriz de um segmento de reta est a uma mesma distncia das extremidades desse segmento de reta.
<P>
<F->
            _
            _
            _A 
           o
         ^ _ ^
       ^   _   ^
     ^     _     ^
   ^    !::w::    ^
 ^    a l_-__-_ b    ^
o:::::::h::w::j:::::::o
P          _M       C
            _
            _
            _
            _
<F+>

<R+>
 ~:,?{a{m*  mediatriz de ^c?{p{c* 
 a=b=90
 ^c?{p{m*==^c?{c{m*
 M  o ponto mdio de ^c?{p{c*.
<R->

  Observando o tringulo {a{p{m e o tringulo {a{c{m:

<R+>
 ^c?{p{m*==^c?{c{m* `(L`)
 :a==:b `(A`)
 ^c?{a{m*==^c?{a{m* (lado comum) -- `(L`)
 Tringulo {a{p{m == tringulo {a{c{m  
 ^c?{a{p*==^c?{a{c*  
 med ^c?{a{p* = med ^c?{a{c* 
 
 med ^c?{a{p* = med ^c?{a{c* -- O ponto A est  mesma distncia dos pontos P e C, ou o ponto A  equidistante de P e C.

 Os pontos da mediatriz de um segmento de reta tm uma propriedade comum!
 Por isso a mediatriz de um segmento de reta  um lugar geomtrico.
<R->

<314>
 Reviso cumulativa e testes

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 1. Nesta figura, as retas *r* e *s* so paralelas. A reta *r* passa por um dos vrtices do tringulo {a{b{c e a reta *s* 
<P>
  contm o lado oposto a esse vrtice.

<F->
             A
r -----------.----------
         x a         
         a y        
       a          
     a50      98
s ---------------------
    B           C
<F+>

 a) Qual  o valor de *x*?
 b) Quais as medidas dos outros dois ngulos internos desse tringulo?

 2. Calcule o valor da expresso ?0,?5*-`(-3`)-2*~?`(-1`)3+
  +0,888...*
 3. Sabe-se que x=m.m.c.(36, 15) e m.d.c.(36, 15). Qual  o valor de xy?
 4. Em uma circunferncia _`[no adaptada_`] que circunda uma praa, com 436 m de dimetro, foram colocados um banco (A), um bebedouro (B) e um ponto de nibus (O). ^:?{a{m{b* e ^:?{b{n{o* tm medidas iguais e a medida de ^:?{o{p{a*  o triplo da medida de ^:?{a{m{b*. Quantos metros aproximadamente uma pessoa percorrer indo do ponto de nibus ao banco percorrendo a calada circular?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 5. O permetro do tringulo {c{n{t  igual a 95 cm e os lados ^c?{t{c* e ^c?{t{n* medem, respectivamente, 20 cm e 40 cm. Sabendo que ^c?{t{x*  a mediana relativa ao lado ^c?{c{n*, determine a medida de ^c?{c{x*.

 6. Uma campanha de reciclagem na escola de Joo foi um sucesso. Joo registrou a quantidade, em quilogramas, de latas de alum-
<P>  
  nio recolhida durante alguns meses em uma tabela:

<F->
_`[{tabela adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: Meses
2 coluna: Kg

!:::::::::::::
l Mar. _ 58  _
r:::::::w::::::w
l Abr. _ 125 _
r:::::::w::::::w
l Jun. _ 100 _
r:::::::w::::::w
l Ago. _ 184 _
r:::::::w::::::w
l Set. _ 116 _
r:::::::w::::::w
l Out. _ 95  _
h:::::::j::::::j
<F+>

 a) Quantos quilogramas foram recolhidos, em mdia, durante esses meses?
 b) O que significa o valor encontrado no item anterior?

 7. Pedro e Mariana fizeram compras. O triplo da quantia gasta por Pedro excede em R$260,00 a quantia gasta por Mariana. Se a quantia total gasta pelos dois foi de R$1.856,00, quanto gastou cada um deles?

 8. Considerando P=x-2y e R=x`(3x+y`), responda:
 a) Qual  a expresso P2-3R?
 b) Qual  o valor numrico da expresso obtida no item anterior para x=#,b e y=-4?

 9. O trapzio {m{n{p{r tem 2.176 m2 de rea. Calcule as medidas das bases desse trapzio sabendo que *a*  o qudruplo de *b*.
<P>
<F->
      M     a-b    R
      cccccccccccccc  
     _               
     _ a              
     _                 
     _                  
     _                   
-----#--------------------
N         3a+2b      P
<F+>

 10. Nesta figura _`[no adaptada_`], r_l^c?{b{c* e tringulo {a{b{c  issceles. Qual  a medida do ngulo :A do tringulo {a{b{c?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 11. A soma das medidas dos ngulos internos de um polgono regular  3.240.
 a) Quantos lados tem esse polgono?
 b) Qual a medida de cada ngulo interno desse polgono?
<P>
 c) Qual a medida de um ngulo externo desse polgono?

<315>
 12. Resolva o sistema de equaes em _r:

 2`(m-3n`)-3m+n=-2n-4 e ?n-m*~4-#;e=?-m+n*~10

 13. Nesta figura, *m* representa um nmero real positivo. Uma expresso algbrica que representa a rea do tringulo {m{n{p :

<F->
              M
              ie 
             i_ e
           i  _  e
         i    _   e  
       i      _4m e
     i        _     e
   i          _      e 
 j::::::::::::j:::::::h 
 N       6m2-1  P
<F+>
<P>
 a) 24m3. 
 b) 12m3-2m. 
 c) 24m3-4m.
 d) 12m3.

 14. (Saresp) O valor de *x* que satisfaa a equao x~5-5= :
 a) 0.
 b) 5. 
 c) 10.
 d) 50.

 15. (PUC-PR) Numa diviso o quociente  3 e o resto  6. A soma do dividendo, do divisor, do quociente e do resto  107. Qual  a diferena entre o dividendo e o divisor?
 a) 23 
 b) 75 
 c) 52
 d) 58

 16. (USF-SP) O nmero *s* do sapato que uma pessoa cala est relacionado com o comprimento *p*, em centmetros, de seu p pela frmula: s=?5p+
  +28*~4. Qual  o comprimento do p de uma pessoa que cala sapatos de nmero 41?
 a) 41 cm 
 b) 35,2 cm 
 c) 30,8 cm
 d) 29,5 cm
 e) 27,2 cm

 17. O maior fator comum aos monmios 60a3b2y4 e 45a2b4y :
 a) 60a2b2y.
 b) 15a3b2y4. 
 c) 15a2b2y.
 d) a3b2y.

 18. (Saresp) O tringulo da figura a seguir  equiltero. Sabe-se que sua rea  2 cm2 e que P, Q e R so pontos mdios de {a{b, {b{c e {a{c respectivamente. A rea de {a{p{q{r :
<P>
<F->
            A
             
           
           
         
        
     PR
         
            
                 
                  
  -------------------
 B         Q        C  
<F+>

 a) 0,25 cm2. 
 b) 0,5 cm2.
 c) 1,0 cm2.
 d) 1,5 cm2.
 
 19. Um motorista leva 4 horas para ir de uma cidade a outra. Dirige  velocidade mdia de 70 km/h e, no caminho, d uma parada de meia hora para lanchar. Qual a distncia entre as duas cidades?
 a) 175 km 
 b) 200 km 
 c) 245 km
 d) 260 km

 20. (PUC-MG) Um cofre contm *x* moedas de R$1,00, *y* moedas de R$0,50 e 12 moedas de R$0,25, totalizando R$22,00. Se x+2y=49, o valor de *x* :
 a) 5. 
 b) 7. 
 c) 9. 
 d) 12.

 21. (Saresp) Juliana tem trs saias: uma de couro, uma de jeans e uma de lycra. Para combinar com qualquer uma destas saias, ela tem duas blusas: uma preta e uma branca. Contou o nmero de combinaes possveis que pode fazer e obteve:
 a) 5. 
 b) 6. 
 c) 10. 
 d) 12.

 22. Simplificando a frao ?6m2-3mn+6m-3n*~?12m2-3n2* obtm-se:
 a) ?m+1*~?2m+n*
 b) ?2m-n*~?2m+n*
 c) ?m+1*~?2m-n*
 d) 1 

 23. (Saresp) Considere o retngulo _`[no adaptado_`] {a{b{c{d, onde P  o ponto mdio de ^c?{c{d*, med {a{b=2 cm e med {b{c=4 cm. A rea da parte hachurada :
 a) 6 cm2.
 b) 7 cm2.
 c) 11 cm2.
 d) 12 cm2.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 24. Entre as afirmaes a seguir, qual  verdadeira?
 a) Todo paralelogramo  um retngulo.
 b) Todo retngulo  um quadrado.
 c) Em qualquer paralelogramo as diagonais so congruentes.
 d) Em retngulos e quadrados as diagonais so congruentes.

 25. Na equao: #,b`(-1+8my`)-
  -2y~5+m=5m-#,aj a incgnita  *y*. A raiz dessa equao :
 a) ?m+1*~?m-1*, com m=1.
 b) ?10m-1*~?10m+1*, com m=-#,aj. 
 c) ?10m+1*~?10m-1*, com m=#,aj.
 d) 1.
<R->

               oooooooooooo

<316>
<P>
 Unidade 12 

 Noes de Estatstica

 Valor Real do Mnimo

  Valores mdios a cada ano atualizados* para novembro de 2004, em reais `(R$`).
  De 1940 a 1958 -- atualizados pelo ndice do Custo de Vida da Prefeitura de So Paulo; de 1959 a 2004 atualizados pelo ICV. Inclui 13 salrio na mdia anual desde 1962 e tambm os abonos nos meses de agosto de 1990 e janeiro de 1995.

<R+>
 Para efeito de comparao, os valores das moedas da poca foram convertidos em real.
<R->

  Por meio de um grfico de linha  possvel analisar tendncias durante um perodo de tempo e chegar a algumas concluses sobre o tema pesquisado.

<R+>
_`[{grfico adaptado em forma de tabela em duas colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Ano
 2 coluna: Valor do mnimo

<F->
!::::::::::::::::::
l 1940 _ 864,59   _
l 1944 _ 733,75   _
l 1951 _ 324,55   _
l 1952 _ 871,22   _
l 1957 _ 1.081,85 _
l 1959 _ 1.053,58 _
l 1961 _ 983,60   _
l 1974 _ 480,55   _
l 1982 _ 582,33   _
l 1987 _ 320,24   _
l 1989 _ 359,03   _
l 1990 _ 256,57   _
l 1995 _ 216,36   _
l 2003 _ 270,82   _
l 2004 _ 271,14   _
l 2008 _ 443,75   _
h:::::::j:::::::::::j
<F+>
<P>
 em 1957 -- 1.081,55: Maior valor da histria, registrado na era JK.
 em 1995 -- 216,36: Menor valor registrado, j na era do Real.

 Fonte: *Ministrio do Trabalho e Emprego*. Disponvel em: ~,http:www.mte.gov.br~, Acesso em 9 dez. 2008.
<R->

 Pesquisa revela

  Levantamento mostra o que as crianas de 7 a 12 anos, que esto acima do peso na Grande So Paulo, tm na sua despensa a mais do que as de peso normal.

<R+>
 Fonte dos dados: *Folha de S. Paulo*, 2 dez. 2004, e Sociedade Brasileira de Endocrinologia e Metabologia.

_`[{figura adaptada_`]
 Duas crianas olhando a despensa; em destaque h:
<P>
 picol 22% a mais 
 biscoito 13% a mais
 iogurte 12% a mais
 maionese 18% a mais
<R->

_`[{o menino diz_`]
  "Voc sabia que aproximadamente 15% das crianas brasileiras esto acima do peso?"

  Os dados coletados em pesquisas so preciosas fontes de informao. H, no entanto, necessidade de organiz-los para melhor analisar o assunto e chegar a concluses vlidas.
<317>
  A Estatstica tem grande importncia no s nos meios de comunicao, mas tambm no campo das pesquisas cientficas e sociais e no mundo dos negcios. Devido  ampla aplicao da Estatstica, ampliaremos nossos conhecimentos sobre os conceitos a ela relacionados.
<R+>
<P>
  D sua opinio sobre a importncia da Estatstica, atualmente.
  Qual  o tema, ou assunto, a que se referem as duas pesquisas apresentadas?
  Que tipo de grfico  ilustrado nestas pginas?
<R->

<318>
 1 -- Organizao de informaes

  Como outros campos da Matemtica, a Estatstica est associada  histria da humanidade. Ela surgiu aos poucos, relacionada ao convvio social,  coleta e anlise de informaes sobre fatos sociais, como, por exemplo,  necessidade de registrar o nmero de nascimentos e de mortes, de batizados ou de casamentos, em certo perodo. Nas anlises e concluses dos dados coletados surgiram as razes com finalidades comparativas.
<P>
<R+>
_`[{figura adaptada e a conversa de dois alunos com a professora; no quadro esto as palavras "Populao" e "Amostra". O menino diz: "Pr... eu j ouvi falar de amostra..."; a menina diz: "E eu, de populao, mas... ...o que  isso?"; a professora diz: "Calma, calma!!! Vamos devagar..."_`]
<R->

  Em muitas situaes, no  possvel consultar todo o grupo de pessoas que estariam envolvidas em uma pesquisa. Nesse caso, ela pode ser realizada com uma parte desse grupo. O grupo todo  a populao e a parte selecionada, a amostra. Uma vez definida a amostra, o pesquisador faz uma coleta de dados.
  Assim, no texto Pesquisa revela, mostrado na abertura desta Unidade, a populao  constituda por todas as crianas brasileiras de 7 a 12 anos de idade e a amostra  constituda de uma parte 
<P>
 desse grupo que foi consultada sobre os itens pesquisados.

 Distribuio por frequncias

  Em uma prova de Cincias, Cludia, que estuda no 8 ano C, obteve nota 7,0.

_`[{a professora diz_`]
  "Estas foram as notas desta classe nessa prova."

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::
l Notas de Cincias do 8 C _
l                               _
l 6,5; 7,0; 7,5; 8,0; 8,5; _ 
l 9,0; 8,0; 9,0; 7,0; 9,0; _
l 7,5; 9,0; 9,0; 8,5; 9,5; _
l 8,0; 8,5; 9,0; 9,5; 9,5; _
l 9,0; 7,0; 8,0; 6,5; 8,0; _
l 8,0; 8,5; 7,5; 9,5; 9,5; _
l 9,0; 9,0; 9,0; 7,5; 8,0; _
l 7,5; 8,5; 6,5; 8,5; 7,0. _
h:::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>
<P>
<R+>
 wr
  D sua opinio sobre a nota de Cludia, comparando-a com notas de 0 a 10. Compare a note de Cludia com todas as notas dadas pela professora. Como foi o desempenho dela em relao aos demais alunos?
<R->

<319>
  Considerando apenas a nota de Cludia, podemos chegar a concluses falsas.  preciso compar-la com as notas dos demais alunos para ter uma opinio sobre o desempenho de Cludia em Cincias.
  Observando as notas dos demais alunos, na forma como esto indicadas no quadro anterior, no  simples fazer uma comparao. Mas podemos organiz-las em ordem crescente (ou decrescente) para facilitar a contagem. Esse procedimento  chamado de tabulao.

<F->
<R+>
_`[{quadros "Notas de Cincias do 8 ano C -- 1 bimestre" adaptados_`]
<R->

1 quadro
!:::::::::::::::::::
l notas _ tabulao  _
r:::::::w::::::::::::w
l 6,5  _ ___        _
r:::::::w::::::::::::w
l 7,0  _ ____       _
r:::::::w::::::::::::w
l 7,5  _ _____      _
r:::::::w::::::::::::w
l 8,0  _ _______    _
r:::::::w::::::::::::w
l 8,5  _ ______     _
r:::::::w::::::::::::w
l 9,0  _ __________ _
r:::::::w::::::::::::w
l 9,5  _ _____      _
h:::::::j::::::::::::j
<P>
2 quadro
::::::::::::::::::::
l notas _ frequncia _
r:::::::w::::::::::::w
l 6,5  _ 3         _
r:::::::w::::::::::::w
l 7,0  _ 4         _
r:::::::w::::::::::::w
l 7,5  _ 5         _
r:::::::w::::::::::::w
l 8,0  _ 7         _
r:::::::w::::::::::::w
l 8,5  _ 6         _
r:::::::w::::::::::::w
l 9,0  _ 10        _
r:::::::w::::::::::::w
l 9,5  _ 5         _
r:::::::w::::::::::::w
l total _ 40        _
h:::::::j::::::::::::j
<F+>

_`[{a professora diz_`]
  "A frequncia da nota 7,0  4."
<P>
  Chamamos essa forma de organizar os dados de distribuio por frequncias, e o nmero de vezes que uma nota aparece  chamado de frequncia simples ou frequncia absoluta, ou apenas frequncia dessa nota.
  Analisando a distribuio por frequncias das notas de Cincias da classe, podemos concluir que o desempenho de Cludia est abaixo do desempenho da maioria dos alunos do 8 ano C: h 33 alunos, em um total de 40, com notas maiores que a de Cludia.

<R+>
<F->
_`[{grfico "Notas de Cincias do 8 ano -- 1 bimestre"_`]
Legenda:
 -- representa um aluno
;;; -- representao da linha quebrada indicando que neste espao a escala foi interrompida.
a -- 6,5
b -- 7,0
c -- 7,5
d -- 8,0
e -- 8,5
f -- 9,0
g -- 9,5

frequncia
    l
10 pccccccccccccc 
 9 l              
 8 l              
 7 pccccccccc    
 6 pcccccccccc    
 5 pccccccccccc 
 4 pccccc      
 3 pccc       
 2 l          
 1 l          
 0 l;;;g:g:g:g:g:g:g:::::::o
        a b c d e f g  nota
<F+>
<R->

_`[{a professora diz_`]
  "Observe essas notas neste grfico de colunas."

_`[{o menino diz_`]
  "Com um grfico comparamos mais rpido."
<P>
<R+>
 wr
  Joo fez a mesma prova de Cincias que Cludia e teve nota 9,5. Como foi o desempenho de Joo em relao ao desempenho dos colegas de classe?
<R->

<320>
 Frequncia relativa

  Observe novamente a tabela das notas de Cincias do 8 ano C.

_`[{a menina diz_`]
  "A nota 7,0 ocorreu 4 vezes. 4  a frequncia absoluta da nota 7,0."

<R+>
<F->
_`[{tabela "Notas de Cincias do 8 ano C -- 1 bimestre" adaptada_`]
1 coluna: Notas
2 coluna: Frequncia (f)
<P>
!::::::::::::
l 6,5  _ 3  _
r:::::::w:::::w
l 7,0  _ 4  _
r:::::::w:::::w
l 7,5  _ 5  _
r:::::::w:::::w
l 8,0  _ 7  _
r:::::::w:::::w
l 8,5  _ 6  _
r:::::::w:::::w
l 9,0  _ 10 _
r:::::::w:::::w
l 9,5  _ 5  _
r:::::::w:::::w
l total _ 40 _
h:::::::j:::::j
<F+>
<R->

  Podemos representar as frequncias absolutas pela letra *f*. A soma das frequncias absolutas de todas as notas  igual ao total de alunos do 8 ano C: 40.
<P>
<R+>
 wr
  Que percentual corresponde aos alunos que obtiveram nota 7?
<R->

  O percentual de alunos que obtiveram a nota 7 corresponde  razo n.o de alunos que tiveram nota 7 ~ total de alunos:

_`[{a professora diz_`]
  "Dividimos 4 por 40."

<R+>
 404=0,1
 0,1.#ajj=10%
 Multiplicando 0,1 por 100, obtemos o percentual.
<R->

  10% dos alunos tiveram nota 7,0 nessa prova de Cincias.
  10%  a frequncia relativa da nota 7,0.
  Representando a frequncia relativa por fr, temos: fr=10%.
  Veja na tabela a seguir a coluna com as frequncias relativas das outras notas:
<P>
<R+>
<F->
_`[{tabela "Notas de Cincias do 8 ano C -- 1 bimestre" adaptada_`]
1 coluna: Notas
2 coluna: Frequncia (f)
3 coluna: Frequncia relativa fr `(%`)

!::::::::::::::::::::
l 6,5  _ 3  _ 7,5   _
r:::::::w:::::w::::::::w
l 7,0  _ 4  _ 10,0  _
r:::::::w:::::w::::::::w
l 7,5  _ 5  _ 12,5  _
r:::::::w:::::w::::::::w
l 8,0  _ 7  _ 17,5  _
r:::::::w:::::w::::::::w
l 8,5  _ 6  _ 15,0  _
r:::::::w:::::w::::::::w
l 9,0  _ 10 _ 25,0  _
r:::::::w:::::w::::::::w
l 9,5  _ 5  _ 12,5  _
r:::::::w:::::w::::::::w
l total _ 40 _ 100,0 _
h:::::::j:::::j::::::::j
<F+>

 Acrescentamos na tabela a frequncia relativa de cada nota.
<R->

<321>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 1. Explique com suas palavras o que voc entendeu por distribuio por frequncias.
 2. Um levantamento sobre o nmero de pessoas da famlia de cada funcionrio de um escritrio resultou na tabela a seguir.

_`[{tabela "Quantas pessoas formam sua famlia?"_`]

<F->
+::::::::::::::::::::
l 3 _ 5 _ 4 _ 3 _ 5 _
r::::w::::w::::w::::w::::w
l 3 _ 6 _ 4 _ 6 _ 4 _
r::::w::::w::::w::::w::::w
l 4 _ 5 _ 1 _ 5 _ 8 _
r::::w::::w::::w::::w::::w
l 6 _ 3 _ 1 _ 2 _ 2 _
h::::j::::j::::j::::j::::j
<F+>
<P>
 Construa uma tabela de distribuio por frequncia com esses dados. Depois, acrescente  tabela uma coluna com as frequncias relativas dos dados coletados.

_`[{tabela "Quantas pessoas formam sua famlia?" adaptada_`]
<F->
1 coluna: Nmero de pessoas da famlia
2 coluna: Nmero de funcionrios f
3 coluna: Frequncia relativa fr `(%`)

!:::::::::::::::
l 1  _ 2  _ 10 _
r:::::w:::::w:::::w
l 2  _ 2  _ ''' _
r:::::w:::::w:::::w
l ''' _ ''' _ ''' _
h:::::j:::::j:::::j
<F+>

 3. Providencie uma moeda de R$1,00, lance primeiro 10 vezes e, depois, 20 vezes, tabu-
<P>
  lando os resultados obtidos (cara ou coroa).
 a) Quantas vezes ocorreu cara nos 10 primeiros lanamentos? E em 30?
 b) Qual foi a frequncia relativa de coroa nos 20 ltimos lanamentos?
 c) Construa uma tabela com os dados obtidos, acrescentando as frequncias absolutas e as frequncias relativas.
 d) Compare os resultados que voc obteve com os de seus colegas. O que se pode afirmar sobre eles?

_`[{tabela "Cara ou coroa?" adaptada_`]
 1 coluna: Nmero de lanamentos
 2 coluna: Ocorrncia de cara
 3 coluna: Ocorrncia de coroa
<P>
<F->
!:::::::::::::::::
l 10   _ ''' _ ''' _
r:::::::w:::::w:::::w
l 20   _ ''' _ ''' _
r:::::::w:::::w:::::w
l total _ ''' _ ''' _
h:::::::j:::::j:::::j
<F+>

 4. Qual  seu esporte favorito? Com esse tema Juliana consultou 500 pessoas. Cada uma escolheu apenas uma opo. Com os dados coletados por ela, construa uma tabela com as frequncias absolutas e as frequncias relativas.
<P>
 Esporte favorito

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::
l Esporte  _ N.o de pessoas_
r:::::::::::w::::::::::::::::w
l Basquete _ 125           _
r:::::::::::w::::::::::::::::w
l Baisebol _ 32            _
r:::::::::::w::::::::::::::::w
l Tnis    _ 63            _
r:::::::::::w::::::::::::::::w
l Futebol  _ 280           _
h:::::::::::j::::::::::::::::j
<F+>

 5. Joo lanou um dado 50 vezes e anotou, na tabela a seguir, os nmeros que apareceram na face superior.
 a) Organize esses dados em uma tabela de distribuio por frequncias, com frequncias absolutas e relativas.
 b) Que nmero apareceu maior nmero de vezes?
 c) Qual  a frequncia absoluta do nmero que voc identificou no item anterior?
<P>
 d) Qual  a frequncia relativa do nmero 3?
 e) Qual  a frequncia absoluta do aparecimento de nmeros menores que 3, nesses 50 lanamentos?
 f) Qual  o percentual do aparecimento de nmeros menores que 3, nesses 50 lanamentos?
 g) Qual  o nmero com maior frequncia relativa?

_`[{tabela "Lanamento de dado" adaptada_`]
 4; 1; 3; 2; 1; 3; 2; 1; 2; 3;
 6; 2; 4; 5; 1; 1; 4; 6; 3; 1;
 1; 3; 6; 1; 3; 2; 6; 3; 6; 1;
 5; 6; 3; 6; 4; 5; 1; 2; 4; 5;
 6; 4; 2; 1; 6; 3; 3; 1; 5; 4.
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<322>
<P>
 2 -- Outros tipos de frequncia

  Alm da frequncia absoluta e da frequncia relativa, existem outros tipos de frequncia, que estudaremos a seguir.
  Uma professora fez o controle das faltas de seus alunos durante um semestre.
  Ela anotou as faltas em uma tabela como esta:

<R+>
<F->
_`[{cinco tabelas adaptadas_`]
1 coluna: N.o do aluno
2 coluna: N.o de faltas
<P>
1 Tabela    2 Tabela
!::::::::::  !::::::::::
l 1  _ 1  _  l 11 _ 5  _ 
r:::::w:::::w  r:::::w:::::w
l 2  _ 5  _  l 12 _ 2  _
r:::::w:::::w  r:::::w:::::w
l 3  _ 0  _  l 13 _ 9  _
r:::::w:::::w  r:::::w:::::w
l 4  _ 7  _  l 14 _ 3  _
r:::::w:::::w  r:::::w:::::w
l 5  _ 4  _  l 15 _ 9  _
r:::::w:::::w  r:::::w:::::w
l 6  _ 4  _  l 16 _ 2  _
r:::::w:::::w  r:::::w:::::w
l 7  _ 8  _  l 17 _ 3  _
r:::::w:::::w  r:::::w:::::w
l 8  _ 4  _  l 18 _ 4  _
r:::::w:::::w  r:::::w:::::w
l 9  _ 1  _  l 19 _ 1  _
r:::::w:::::w  r:::::w:::::w
l 10 _ 3  _  l 20 _ 7  _
h:::::j:::::j  h:::::j:::::j
<P>
3 Tabela    4 Tabela 
!::::::::::  !::::::::::
l 21 _ 3  _  l 31 _ 1  _
r:::::w:::::w  r:::::w:::::w
l 22 _ 9  _  l 32 _ 3  _
r:::::w:::::w  r:::::w:::::w
l 23 _ 5  _  l 33 _ 1  _
r:::::w:::::w  r:::::w:::::w 
l 24 _ 2  _  l 34 _ 8  _
r:::::w:::::w  r:::::w:::::w
l 25 _ 1  _  l 35 _ 9  _
r:::::w:::::w  r:::::w:::::w
l 26 _ 5  _  l 36 _ 8  _
r:::::w:::::w  r:::::w:::::w
l 27 _ 9  _  l 37 _ 2  _
r:::::w:::::w  r:::::w:::::w
l 28 _ 2  _  l 38 _ 4  _
r:::::w:::::w  r:::::w:::::w
l 29 _ 9  _  l 39 _ 8  _
r:::::w:::::w  r:::::w:::::w
l 30 _ 0  _  l 40 _ 2  _
h:::::j:::::j  h:::::j:::::j
<P>
5 Tabela
!::::::::::
l 41 _ 3  _
r:::::w:::::w
l 42 _ 2  _
r:::::w:::::w
l 43 _ 8  _
r:::::w:::::w
l 44 _ 3  _
r:::::w:::::w
l 45 _ 7  _
r:::::w:::::w
l 46 _ 3  _
r:::::w:::::w
l 47 _ 3  _
r:::::w:::::w
l 48 _ 8  _
r:::::w:::::w
l 49 _ 9  _
r:::::w:::::w
l 50 _ 2  _
h:::::j:::::j
<F+>

 So ao todo 50 alunos.
<R->

  A partir dessas anotaes, ela construiu uma tabela de distribuio por frequncias com as frequncias absolutas e as frequncias relativas.

<R+>
 wr
  Observe a tabela a seguir e responda em seu caderno: quantos alunos tiveram um nmero menor ou igual a 5 faltas?

<F->
_`[{tabela "Nmero de faltas do 8 ano" adaptada em trs colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: Nmero de faltas
2 coluna: Frequncia absoluta f
3 coluna: Frequncia relativa `(%`) fr
<P>
!::::::::::::::::::
l 0    _ 2  _ 4   _
r:::::::w:::::w::::::w
l 1    _ 6  _ 12  _
r:::::::w:::::w::::::w
l 2    _ 8  _ 16  _
r:::::::w:::::w::::::w
l 3    _ 9  _ 18  _
r:::::::w:::::w::::::w
l 4    _ 5  _ 10  _
r:::::::w:::::w::::::w
l 5    _ 4  _ 8   _
r:::::::w:::::w::::::w
l 6    _ 0  _ 0   _
r:::::::w:::::w::::::w
l 7    _ 3  _ 6   _
r:::::::w:::::w::::::w
l 8    _ 6  _ 12  _
r:::::::w:::::w::::::w
l 9    _ 7  _ 14  _
r:::::::w:::::w::::::w
l total _ 50 _ 100 _
h:::::::j:::::j::::::j
<F+>
<R->
<P>
  Obtemos a resposta adicionando todas as frequncias absolutas correspondentes ao nmero de faltas menor ou igual a 5.

 2+6+8+9+5+4=34

  A soma obtida  chamada de frequncia acumulada correspondente a 5 faltas e indicada por fa.

 fa=34; fa de 5 faltas.

  A frequncia acumulada para 7 faltas pode ser representada por fa=37.

<R+>
 Em uma distribuio por frequncias, a frequncia acumulada at certo dado  a soma da frequncia desse dado com as dos dados anteriores. Representamos essa frequncia por fa.
<R->

<323>
<R+>
 wr
  Observe as informaes da tabela da pgina 1041  sobre o nmero de faltas nas aulas de Matemtica. Qual  a razo entre a frequncia acumulada correspondente a 5 faltas e o total de alunos?
<R->

  Veja uma resoluo:

 fa ~ total =#:ej=0,68=68%

  68% dos alunos do 8 ano tiveram nmero de faltas igual ou inferior a 5.
  Chamamos essa razo de frequncia acumulada relativa para 5 faltas.

 far de 5=68%

  Para 7 faltas -- far de 7=#:=ej=0,74=74%.
  74% dos alunos do 8 ano tiveram nmero de faltas igual ou inferior a 7.

<R+>
 A frequncia acumulada relativa de um dado  a razo entre a frequncia acumulada at esse dado e o total das frequncias. Representamos essa frequncia por far.
<R->

  A partir do levantamento das frequncias acumuladas e frequncias acumuladas relativas, completamos a tabela de distribuio por frequncias:

<R+>
<F->
_`[{tabela "Nmero de faltas do 8 ano no semestre" adaptada em cinco colunas; contedo a seguir_`]
Legenda: T -- Total
1 coluna: Nmero de faltas
2 coluna: Frequncia absoluta f
3 coluna: Frequncia acumulada fa
4 coluna: Frequncia relativa `(%`) fr
5 coluna: Frequncia acumulada relativa `(%`) far
<P>
0 l2  l2  l4   l4
1 l6  l8  l12  l4+12=16
2 l8  l16 l16  l16+16=32
3 l9  l25 l18  l32+18=50
4 l5  l30 l10  l50+10=60
5 l4  l34 l8   l60+8=68
6 l0  l34 l0   l68+0=68
7 l3  l37 l6   l68+6=74
8 l6  l43 l12  l74+12=86
9 l7  l50 l14  l86+14=100
T l50 l''' l100 l'''
<F+>
<R->

  Note que as frequncias acumulada e acumulada relativa para alunos com 0 falta so iguais a 4%.
  A frequncia acumulada relativa para 0 ou 1 falta  igual a: 4%+12%=16% e significa que 16% dos alunos tiveram 0 ou 1 falta.
  A frequncia acumulada relativa para 0, 1, ou 2 faltas  igual a: 16%+16%=32% e significa que 32% dos alunos tiveram 0, 1 ou 2 faltas.
<P>
  A frequncia acumulada relativa para 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ou 8 faltas  igual a: 74%+12%=86% e significa que 86% dos alunos tiveram 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ou 8 faltas.

<324>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 6. Explique com suas palavras o que significa frequncia acumulada relativa.

_`[{para as atividades de 7 a 9, pea orientao ao professor_`]

 7. Qual  seu manequim? Com essa pergunta, Teresa consultou 50 pessoas e fez estas anotaes:
<P>
_`[{tabela adaptada_`]
<F->
38; 40; 40; 36; 42; 42; 40; 36; 40; 42
36; 42; 40; 44; 38; 36; 50; 40; 38; 36
40; 38; 42; 44; 50; 38; 40; 42; 50; 38
42; 36; 40; 42; 36; 44; 40; 38; 40; 42
44; 42; 38; 40; 44; 42; 36; 44; 40; 42
<F+>

 a) Faa uma contagem dos dados obtidos por Teresa, em sua pesquisa, e construa uma tabela de distribuio por frequncia com frequncias absolutas, frequncias relativas, frequncias acumuladas e frequncias acumuladas relativas.
 b) Quantas pessoas formam a amostra da pesquisa de Teresa?
 c) Qual  a frequncia do manequim 42?
 d) Qual  a frequncia relativa do manequim 42?
<P>
 e) Qual  a frequncia acumulada do manequim 42?
 f) Qual  a frequncia acumulada relativa do manequim 42?
 g) Quais so a *fr*, a *fa* e a *far* do manequim 40?
 h) Represente os dados da pesquisa de Teresa em um grfico de colunas, indicando no eixo *x* o manequim e, no eixo *y*, a frequncia absoluta.

 8. Jorge  um pesquisador do departamento de trnsito de sua cidade. Observe as anotaes que ele fez sobre a velocidade aproximada com que os motoristas trafegam em uma das avenidas mais movimentadas.

_`[{tabela "Velocidade em km/h" adaptada_`]
<P>
<F->
70; 80; 90; 80; 80; 90; 80; 90; 70; 80; 60; 80
80; 100; 80; 70; 90; 80; 90; 60; 80; 80; 90; 70
90; 80; 90; 80; 60; 80; 70; 80; 90; 80; 80; 90
80; 70; 80; 90; 80; 90; 80; 100; 70; 90; 60; 90
100; 80; 80; 70; 80; 80; 90; 80; 60; 80; 70; 60 
<F+>

 a) Faa uma contagem desses dados e construa uma tabela completa de distribuio por frequncia dessa pesquisa.
 b) Quantos veculos foram observados nessa pesquisa?
 c) Quantos motoristas dirigiam a 90 km por hora?
 d) No grupo observado por Jorge, qual  o percentual dos motoristas que dirigiam a 90 km por hora?
 e) Qual  o percentual dos motoristas que dirigiam com velocidades menores que 90 km por hora?
<P>
 f) Se o limite de velocidade nessa avenida  de 80 km por hora, qual a taxa percentual de motoristas infratores?
 g) Represente esses dados em um grfico de setores.

 9. A distribuio por frequncia indicada na tabela a seguir refere-se s notas de uma das provas de Portugus da classe de Rodolfo.

_`[{tabela "Notas de Portugus -- 1 bimestre" adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Notas
 2 coluna: Frequncia
<P>
<F->
!::::::::::::
l 4,0  _ 7  _
r:::::::w:::::w
l 4,5  _ 6  _
r:::::::w:::::w
l 5,0  _ 5  _
r:::::::w:::::w
l 5,5  _ 6  _
r:::::::w:::::w
l 6,0  _ 8  _
r:::::::w:::::w
l 6,5  _ 10 _
r:::::::w:::::w
l 7,0  _ 8  _
r:::::::w:::::w
l total _ 50 _
h:::::::j:::::j
<F+>

 a) Construa em seu caderno uma tabela de distribuio por frequncias com frequncias relativas, frequncias acumuladas e frequncias acumuladas relativas.
<P>
 b) Qual  a frequncia relativa dos alunos que tm nota 7,0?
 c) Quantos alunos tm nota inferior a 6,5?
 d) Quantos alunos tm nota 5,0 ou abaixo de 5,0?
 e) Quantos por cento dos alunos tm nota inferior a 5,0?
 f) Quantos por cento dos alunos tm nota inferior a 7,0?
 g) Quantos por cento dos alunos tm nota inferior ou igual a 7,0?
<R->

 Troque ideias e resolva

  Escolha trs classes de sua escola e faa um levantamento:
<R+>
 a) do esporte preferido pelos garotos e pelas garotas;
 b) do esporte mais praticado pelos garotos e pelas garotas.
  Em seu caderno, anote os dados coletados em uma tabela como esta:
<P>
_`[{tabela adaptada em quatro colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Esporte preferido
 2 coluna: Garotas
 3 coluna: Garotos
 4 coluna: total

<F->
''' l''' l''' l''' 
''' l''' l''' l''' 
<F+>

  Para cada conjunto de dados coletados, construa em seu caderno uma tabela completa de distribuio por frequncias.
  Elabore questes sobre frequncia relativa, frequncia acumulada e frequncia acumulada relativa.
  Troque essas questes com um colega e resolva as questes que voc recebeu.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<P>
 Leitura + (mais)

 Um toque de arte

   o que se observa, hoje em dia, nos grficos apresentados pelos jornais e revistas: arte e humor, alm de certa anlise crtica. So os grficos chamados *pictricos*.
  Os grficos pictricos proporcionam um visual interessante, que atrai a ateno do leitor. Eles se caracterizam pela sobreposio de ilustrao e grfico ou pela sobreposio de fotografia e grfico. Veja um exemplo.

 O risco do dlar

  Em 2007, a moeda americana teve quedas em relao ao real.

<R+>
<F->
_`[{grfico "O risco do dlar" adaptado em forma de tabela em duas colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: Ms
2 coluna: Queda em relao ao real

 jan. _ 2,14 
 fev. _ 2,10 
 mar. _ 2,09 
 abr. _ 2,03 
 maio _ 1,98 
 jun. _ 1,93 
 jul. _ 1,88 
 ago. _ 1,97 
 set. _ 1,90 
 out. _ 1,80 
 nov. _ 1,77 
 dez. _ 1,79 
<F+>

 Fonte: *Banco Central do Brasil*. Acesso em: fev. 2008.
<R->

  Esse tipo de representao grfica associa a imagem (nota de 100 dlares) ao tema pesquisado. O desenho  feito mantendo-se uma proporcionalidade com os dados coletados.

<326>
<P>
 Reviso cumulativa e testes

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 1. Ao multiplicar um polinmio P por `(3t-5`) e adicionar `(5t4-15t2+18t-1`) ao resultado, obtm-se o polinmio `(-4t4+10t2+29`). Qual  o polinmio P?
 2. Se a-b=10 e a2+b2=82, qual  o valor numrico do polinmio a3-a2b+ab2-b3?
 3. O valor numrico do polinmio y2-y+41  um nmero primo para y=6? E para y=40?
 4. Determine a soma algbrica:

 1~?a+1*+2a~?a2-1*-1~?a-
  -1*

 5. Em uma prova com 80 questes, um estudante ganhou 5 pontos em cada questo que acertou e perdeu 3 pontos em cada questo que errou. Descubra quantas questes um estudante acertou sabendo que fez 104 pontos.
 6. Determine a soluo da equao literal 3a`(x-2`)+2b`(x+
  +4`)=a`(x-4`) na incgnita *x*.
 7. Resolva esta inequao, considerando *y* um nmero real.

 ?y-2*~3-1o?2.`(2-y`)*~4-#,f

_`[{para as atividades 8 e 9, pea orientao ao professor_`]

 8. Nesta figura _`[no adaptada_`], ^c?{a{c*  uma diagonal do paralelogramo {a{b{c{d.
 a) Qual caso de congruncia permite escrever tringulo {a{b{c == tringulo {c{d{a?
 b) Qual  o valor de *x*?
 c) Qual  a medida de :?{a{c{d*?
 d) Qual  a medida de :?{c{a{d*?
<P>
 9. No paralelogramo {m{n{p{q 
  _`[no adaptado_`], ^c?{m{p*  bissetriz de :?{n{p{q*. Demonstre que o tringulo {m{n{p  equiltero.

 10. Uma forma fatorada da expresso 2ab+a+10b+5 :
 a) `(a+5`).`(2b+1`).
 b) `(2ab+a`)`(10b+5`).
 c) `(5a+1`)`(2b+1`).
 d) `(a+2`).`(5b+1`).

 11. Acrescentando 250 ml de gua a uma certa quantidade de molho, essa mistura ser maior que o dobro da quantidade inicial de molho. Uma inequao que traduz essa situao pode ser:
 a) 2xo250+x.
 b) x+2o250x.
 c) 250+xo2x.
 d) x+250ox+2.
<P>
_`[{para as atividades 12 e 13, pea orientao ao professor_`]

 12. (Saeb) Observe este grfico _`[no adaptado_`], em que esto representadas duas retas. Para que esse grfico seja a representao geomtrica do sistema x+2y=a e x-y=b os valores de *a* e *b* so:
 a) a=-1 e b=8.
 b) a=2 e b=3.
 c) a=3 e b=2.
 d) a=8 e b=-1.

<327>
 13. Nesta figura _`[no adaptada_`], *x* e *y* so retas paralelas e :,?{o{b*  a bissetriz de :?{a{o{p*. A medida de :?{x{p{o* :
 a) 55 
 b) 75 
 c) 100
 d) 110

 14. Em um tringulo, o segmento de reta que tem extremidades em um vrtice e no ponto mdio do lado oposto a esse vrtice  a:
 a) altura. 
 b) bissetriz. 
 c) mediana.
 d) mediatriz.

 15. Os dois ngulos agudos de um losango so complementares. A medida de um ngulo obtuso :
 a) 135 
 b) 120 
 c) 100
 d) 80

 16. (Saeb) O grfico a seguir mostra a distncia, em metros, que um pequeno roedor est de sua toca, no perodo de 17 h at as 23 h.

<F->
_`[{grfico adaptado em forma de tabela em duas colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: tempo `(h`)
2 coluna: distncia `(m`)
<P>
!::::::::::
l 17 _ 0  _
r:::::w:::::w
l 18 _ 10 _
r:::::w:::::w
l 19 _ 15 _
r:::::w:::::w
l 20 _ 8  _
r:::::w:::::w
l 21 _ 11 _
r:::::w:::::w
l 22 _ 4  _
r:::::w:::::w
l 23 _ 0  _
h:::::j:::::j
<F+>

 Os dados indicam que o animal:
 a) est mais longe da toca s 23 horas.
 b) est 8 metros longe da toca s 20 horas.
 c) est sempre afastando-se da toca entre 18 e 20 horas.
<P>
 d) estava na toca uma nica vez entre 17 e 23 horas.
 e) estava sempre a menos de 12 m da toca nesse perodo
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Nona Parte
